Question

已知A（-

3

2

，0），B（

3

2

，0）為平面內兩定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設直線l：y=k（x+

3

2

）（k＞0）與（1）中點P的軌跡交于M，N兩點，求△BMN的最大面積及此時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據P到兩個定點A、B的距離和等于定值，可得P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，結合橢圓的基本概念即可求出動點P的軌跡方程；
（2）由直線MN方程與橢圓方程聯解，消去x得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數的關系算出|y₁-y₂|²=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，再用換元法結合二次函數的性質算出|y₁-y₂|的最大值為

3

3

，相應的k=±

2

2

．最后根據△BMN的面積S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|，即可得出△BMN的最大面積為

1

2

，此時的直線l方程為 y=±（

2

2

x

6

4

）．

解答：解：（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=

3

＜2
∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=1，c=

3

2

，b=

a2-c2

=

1

4

，
因此，橢圓方程為x2+

y2

1 4

=1，可得動點P的軌跡方程為x²+4y²=1；
（2）由

y=k(x+ 3 2 ) x2+4y2=1

消去x，得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

y1+y2= 3 k 1+4k2 y1y2= - k2 4 1+4k2

，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，
令1+4k²=t，則|y₁-y₂|²=-

3

4t2

+

1

2t

+

1

4

當

1

t

=

1

3

，即t=3時|y₁-y₂|²的最大值為

1

3

，
可得|y₁-y₂|的最大值為

3

3

，相應的k=±

2

2

∵△BMN的面積S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|
∴當且僅當k=±

2

2

時，△BMN的面積S=

1

2

×

3

×

3

3

=

1

2

，達到最大值
綜上所述，△BMN的最大面積為

1

2

，此時的直線方程為y=±

2

2

（x+

3

2

），即y=±（

2

2

x

6

4

）．

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程并求三角形面積的最大值．著重考查了橢圓的定義與概念、直線與圓錐曲線的位置關系和函數的最值討論等知識，考查了轉化化歸與數形結合數學思想的應用，屬于中檔題．