Question

已知集合A={x|（x-2）（x-2a-5）＜0}，函數y=lg

x-(a2+2)

2a-x

的定義域為集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）已知a＞-

3

2

，且”x∈A”是”x∈B”的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a=4，確定集合A，利用對數函數的定義域，確定集合B，從而可求集合A∩B
（2）根據已知a＞-

3

2

，確定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要條件，可知B⊆A，從而建立不等式，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=4時，集合A={x|（x-2）（x-13）＜0}={x|2＜x＜13}，
函數y=lg

x-(a2+2)

2a-x

=lg

x-18

8-x

的定義域為{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，
∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；
（2）∵a＞-

3

2

，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）
∵a²+2＞2a，∴B=（2a，a²+2）
∵“x∈A”是“x∈B”的必要條件，
∴B⊆A
∴

a＞- 3 2 2a≥2 a2+2≤2a+5

∴1≤a≤3
∴實數a的取值范圍是[1，3]．

點評：本題主要考查了集合的運算，集合之間的關系，考查四種條件的運用，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式不等式與對數函數的定義．