Question

（2009•湖北模擬）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圓O：x²+y²=1上的兩個動點，且M、N關于x軸對稱，直線AM與BN交于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設動直線l：y=k（x+

3

2

）與曲線C交于S、T兩點．求證：無論k為何值時，以動弦ST為直徑的圓總與定直線x=-

1

2

相切．

Answer 1

分析：（1）確定直線AM與BN的方程，可得M的坐標，代入圓的方程，即可求P點的軌跡C的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理確定ST的中點坐標，證明

1

2

|ST|=d（中點到直線x=-

1

2

的距離），即可得到結論；另解：利用拋物線的定義，證明以ST為直徑的圓與x=-

1

2

總相切．

解答：（1）解：設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），P（x，y）（x₀≠-1且x₀≠3）
∵AM：y=

y0

x0+1

(x+1)①，BN：y=

-y0

x0-3

(x-3)②
∴聯立①②，解得

x0= x+3 x-1 y0= 2y x-1

（4分）
∵點M（x₀，y₀）在圓⊙O上，代入圓的方程：(

x+3

x-1

)2+(

2y

x-1

)2=1
整理：y²=-2（x+1）（x＜-1）（6分）
（2）證明：由

y=k(x+ 3 2 ) y2=-2(x+1)

⇒k2x2+(3k2+2)x+

9

4

k2+2
設S（x₁、y₁），T（x₂、y₂），ST的中點坐標（x₀、y₀）
則x₁+x₂=-（3+

2

k2

），x₁x₂=

9

4

+

2

k2

（8分）
∴x0=

x1+x2

2

=-

1

2

(3+

2

k2

)
中點到直線x=-

1

2

的距離d=-

1

2

-x0=-

1

2

+

1

2

(3+

1

k2

)=1+

1

k2

∵

1

2

|ST|=

1

2

1+k2

(3+ 2 k2 )2-4( 9 4 + 2 k2 ) 2 k2

=

1

2

1+k2

4k2+4 k4

 =

1+k2

k2

=1+

1

k2

∴

1

2

|ST|=d
故圓與x=-

1

2

總相切．（13分）
另解：∵y²=-2（x+1）知焦點坐標為（-

3

2

，0）（2分）
頂點（-1，0），故準線x=-

1

2

（4分）
設S、T到準線的距離為d₁，d₂，ST的中點O'，O'到x=-

1

2

的距離為

d1+d2

2

又由拋物線定義：d₁+d₂=|ST|，∴

d1+d2

2

=

|ST|

2

故以ST為直徑的圓與x=-

1

2

總相切（8分）

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與拋物線，直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．