Question

【題目】廣場舞是現代城市群眾文化、娛樂發展的產物，其兼具文化性和社會性，是精神文明建設成果的一個重要指標和象征.2015年某高校社會實踐小組對某小區跳廣場舞的人的年齡進行了凋查，隨機抽取了40名廣場舞者進行調查，將他們年齡分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數；
（2）求40名廣場舞者年齡的中位數和平均數的估計值；
（3）若從年齡在[20，40）中的廣場舞者中任取2名，求這兩名廣場舞者年齡在[30，40）中的人數X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖得年齡分布在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，

∴在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數為：40×0.75=30（人）

（2）解：年齡分布在[20，50）的頻率為（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，

年齡分布在[50，60）的頻率為0.3，

∴中位數為：50+ =55．

平均數的估計值為：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54

（3）解：從年齡在[20，40）中的廣場舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，

其中年齡在[20，30）中的廣場舞者有2人，年齡在[30，40）中的廣場舞者有4人，

∴X的可能取值為0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

EX= =

【解析】（1）由頻率分布直方圖先求出年齡分布在[40，70）的頻率，由此能求出在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數．（2）利用頻率分布圖能求出40名廣場舞者年齡的中位數和平均數的估計值．（3）從年齡在[20，40）中的廣場舞者有6人，其中年齡在[20，30）中的廣場舞者有2人，年齡在[30，40）中的廣場舞者有4人，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．