Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，設直線過橢圓的上頂點和右焦點，坐標原點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）.根據過橢圓的上頂點和右頂點，得到的方程為，根據點到直線的距離為2結合離心率求解.

（2）設直線的方程為，，.聯立方程組消去得，，將韋達定理代入上式研究與m無關即可.

（1）設橢圓的半焦距為，根據題意，得.

因為過橢圓的上頂點和右頂點，所以的方程為，即.

又由點到直線的距離為2，得，所以.

設，，則，解得，從而，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意設直線的方程為，，.

聯立方程組，消去得，

，

所以，，

，

.

假設存在定點，使得直線，的斜率之積為非零常數，

則.

要使為非零常數，當且僅當，即時成立，

此時，，

所以軸的正半軸上存在定點，使得直線，的斜率之積為常數.