Question

【題目】如圖，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，ABAC，AB＝3，AC＝4，B1CAC1．

（1）求AA1的長；

（2）試判斷在側棱BB1上是否存在點P，使得直線PC與平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）不存在符合題意的點P，理由見解析

【解析】

（1）根據直三棱柱，得到AA1⊥平面ABC，又AB⊥AC，以A為原點，{，，}為正交基底建立空間直角坐標系，設AA1＝a＞0，利用B1C⊥AC1，由求解.

（2）假設存在，設(0，0，4)，，得到＝(3，﹣4，4)，由AB⊥平面AA1C1C，得到平面AA1C1C的法向量為＝(3，0，0)，設PC與平面AA1C1C所成角為，代入求解，再求得平面BA1C的一個法向量，設二面角B—A1C—A的大小為，則，然后根據，由求解.

（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

又AB，AC平面ABC，

故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，

故以A為原點，{，，}為正交基底建立空間直角坐標系：

設AA1＝a＞0，則A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，

＝(﹣3，4，﹣a)，＝(0，4，a)，

因為B1C⊥AC1，

故，即，

又a＞0，故a＝4，即AA1的長為4；

（2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，

假設存在，設(0，0，4)，，

則P(3，0，4)，則＝(3，﹣4，4)，

因為AB⊥AC，AB⊥AA1，又ACAA1＝A，AC，AA1平面AA1C1C，

所以AB⊥平面AA1C1C，

故平面AA1C1C的法向量為＝(3，0，0)，

設PC與平面AA1C1C所成角為，則，

設平面BA1C的一個法向量為＝(x，y，z)，平面AA1C的一個法向量為＝(3，0，0)，

由（1）知：＝(0，4，﹣4)，＝(﹣3，4，0)，＝(0，4，0)，

則，

令，則＝(4，3，3)

設二面角B—A1C—A的大小為，則，

因為，則，無解，

故側棱BB1上不存在符合題意的點P．