Question

【題目】△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知向量 =（cosA，sinA）， =（cosB，﹣sinB），且| ﹣ |=1．
（1）求角C的度數；
（2）若c=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（cosA，sinA）， =（cosB，﹣sinB），

∴ =（cosA﹣cosB，sinA+sinB），

又| ﹣ |=1．

∴ =1，

化為2﹣2cos（A+B）=1，

∴cosC=﹣ ，

∵C∈（0，π），

∴C= ．

（2）解：當c=3時，c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴9≥2ab﹣2ab× ，∴ab≤3，

∴S= ab ，

當且僅當a=b= 時取等號．

∴△ABC面積的最大值為 ．

【解析】（1）利用向量的坐標運算與模的計算公式可得： =1，利用兩角和差的余弦公式、同角三角函數基本關系式化為2﹣2cos（A+B）=1，即可得出．（2）當c=3時，利用余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，再利用基本不等式的性質與三角形面積計算公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握余弦定理:;;才能正確解答此題．