Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2+|x﹣1|+1= ，
當x＜1時，f（x）= + ≥ ；
當x≥1時，f（x）= ﹣ ，在[1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（1）=2；
∴f（x）min=f（ ）=
（Ⅱ） ，
1）當a≥ ，∴f（x）min=f（ ）= +a；
2）當 ，f（x）min=f（a）=a2+1；
3）當 ，f（x）min=f（﹣ ）= ﹣a；
所以 ，
所以，當a≥ 時，g（a）= +a≥ ；
當﹣ ＜a＜ 時，g（a）=a2+1≥1；
當a≤﹣ 時，g（a）= +a≥ ；
因為m=g（a），所以m∈[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2+|x﹣1|+1= ，易求當x= 時，f（x）min= ；（Ⅱ）依題意，可求得 ，從而可求得其最小值為1，依題意，即可求得m的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號)．