Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．
（1）求a的取值范圍；
（2）設x1 ， x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

①若a=0，那么f（x）=0（x﹣2）ex=0x=2，

函數(shù)f（x）只有唯一的零點2，不合題意；

②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，

當x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)；

當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)；

此時當x=1時，函數(shù)f（x）取極小值﹣e，

由f（2）=a＞0，可得：函數(shù)f（x）在x＞1存在一個零點；

當x＜1時，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，

∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，

令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的兩根為t1，t2，且t1＜t2，

則當x＜t1，或x＞t2時，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，

故函數(shù)f（x）在x＜1存在一個零點；

即函數(shù)f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；

③若﹣ ＜a＜0，則ln（﹣2a）＜lne=1，

當x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，

ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

當ln（﹣2a）＜x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，

當x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

故當x=ln（﹣2a）時，函數(shù)取極大值，

由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣1]2+1}＜0得：

函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；

④若a=﹣ ，則ln（﹣2a）=1，

當x＜1=ln（﹣2a）時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

當x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，

函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；

⑤若a＜﹣ ，則ln（﹣2a）＞lne=1，

當x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

當1＜x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，

當x＞ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，

故當x=1時，函數(shù)取極大值，

由f（1）=﹣e＜0得：

函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）

（2）

證明：∵x1，x2是f（x）的兩個零點，

∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，

∴﹣a= = ，

令g（x）= ，則g（x1）=g（x2）=﹣a，

∵g′（x）= ，

∴當x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；

設m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）= = ，

設h（m）= ，m＞0，

則h′（m）= ＞0恒成立，

即h（m）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

h（m）＞h（0）=0恒成立，

即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，

令m=1﹣x1＞0，

則g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）2﹣x1＞x2，

即x1+x2＜2．

【解析】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點.（1）由函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），對a進行分類討論，綜合討論結果，可得答案．（2）設x1 ， x2是f（x）的兩個零點，則﹣a= = ，令g（x）= ，則g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的單調(diào)性，令m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）= ，
設h（m）= ，m＞0，利用導數(shù)法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得結論.本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，分類討論思想，難度較大．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的極值與導數(shù)和函數(shù)的零點，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點即可以解答此題．