Question

【題目】如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．

（1）證明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．

∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，

∵DF∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC，

∵AF平面ABEF，

∴平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）

解：

由AF⊥DF，AF⊥EF，

可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；

由CE⊥BE，BE⊥EF，

可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．

可得∠DFE=∠CEF=60°．

∵AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，

∴AB∥平面EFDC，

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB平面ABCD，

∴AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴四邊形EFDC為等腰梯形．

以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設FD=a，

則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0），

∴ =（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0）

設平面BEC的法向量為 =（x1，y1，z1），則 ，

則 ，取 =（ ，0，﹣1）．

設平面ABC的法向量為 =（x2，y2，z2），則 ，

則 ，取 =（0， ，4）．

設二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ=﹣

=﹣ = ，

則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣ ．

【解析】與二面角有關的立體幾何綜合題.（1）證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標系將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．