Question

【題目】做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是 ，且用料最省，則圓柱的底面半徑為 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】設圓柱的高為h，半徑為r則由圓柱的體積公式可得，πr2h=27π，即 ，要使用料最省即求全面積的最小值，而S全面積=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），結合導數可判斷函數f（r）的單調性，進而可求函數取得最小值時的半徑
（法二）：S全面積=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料最小時的r
解：設圓柱的高為h，半徑為r
則由圓柱的體積公式可得，πr2h=27π

S全面積=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）單調遞減，在[3，+∞）單調遞增，則f（r）在r=3時取得最小值
（法二）：S全面積=πr2+2πrh= =
= =27π
當且僅當 即r=3時取等號
當半徑為3時，S最小即用料最省
故答案為：3
本題主要考查圓柱的體積及表面積的最值問題。要求用料最省，要根據實際問題轉化為數學問題，即先設圓柱的高為h，半徑為r，根據圓柱的體積公式可得到h，要使用料最省，即求圓柱全面積的最小值，根據公式代入全面積公式，利用不等式即可求解最小值。也可根據導數的單調性求解最小值問題。