Question

在二項式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項和二項式系數最大的項．

Answer 1

∵二項展開式的前三項的系數分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1）…2分
∴2•

n

2

=1+

1

8

n（n-1），
解得n=8或n=1（不合題意，舍去）…4分
∴T_r+1=

C

r8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=

C

r8

•2^-r•x4-

3r

4

，
當4-

3r

4

∈Z時，T_r+1為有理項，
∴0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求…8分
故有理項有3項，分別是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2，
∵n=8，
∴展開式中共9項，中間一項即第5項的系數最大，T₅=

35

8

x…12分