【題目】如圖，四邊形
為正方形，
平面，
，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析.（2）
【解析】
以
為坐標原點，線段
的長為單位長，射線為
軸的正半軸建立空間直角坐標系
.
（1）求出相應點的坐標，根據(jù)線面垂直的判斷定理、面面垂直的判定定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合平面法向量的求法進行求解即可.
如圖，
以為坐標原點，線段的長為單位長，射線為軸的正半軸建立空間直角坐標系.
（1）證明：依題意有
，
，
，
則
，
，
.
所以
，
.
即
，
.
故
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面.
（2）依題意有
，
，
.
設
是平面
的法向量，則
，即
.
因此可取
.
設
是平面
的法向量，則
，可取
，所以
.
故二面角
的余弦值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制如圖所示頻率分布直方圖，已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
（1）求
的值；
（2）分析人員對100名調(diào)查對象的性別進行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，消費金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列
列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認為消費金額與性別有關？
（3）分析人員對抽取對象每周的消費金額
與年齡
進一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關，得到回歸方程
.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替）
列聯(lián)表
男性 | 女性 | 合計 | |
消費金額 | |||
消費金額 | |||
合計 |
臨界值表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知球
的半徑為3，該球的內(nèi)接正三棱錐的體積最大值為
，內(nèi)接正四棱錐的體積最大值為
，則
的值為__________．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了豐富學生的課外文化生活，某中學積極探索開展課外文體活動的新途徑及新形式，取得了良好的效果.為了調(diào)查學生的學習積極性與參加文體活動是否有關，學校對300名學生做了問卷調(diào)查，列聯(lián)表如下：
參加文體活動 | 不參加文體活動 | 合計 | |
學習積極性高 | 180 | ||
學習積極性不高 | 60 | ||
合計 | 300 |
已知在全部300人中隨機抽取1人，抽到學習積極性不高的學生的概率為
.
（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；
（2）是否有
的把握認為學習積極性高與參加文體活動有關？請說明你的理由；
（3）若從不參加文體活動的同學中按照分層抽樣的方法選取5人，再從所選出的5人中隨機選取2人，求至少有1人學習積極性不高的概率.
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且其離心率為
，過坐標原點
作兩條互相垂直的射線與橢圓
分別相交于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線
總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：
周一 | 無雨 | 無雨 | 有雨 | 有雨 |
周二 | 無雨 | 有雨 | 無雨 | 有雨 |
收益 |
|
|
|
|
若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為
萬元；有雨時，收益為
萬元.額外聘請工人的成本為
萬元.
已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為萬元的概率為
.
（Ⅰ）若不額外聘請工人，寫出基地收益
的分布列及基地的預期收益；
（Ⅱ）該基地是否應該外聘工人，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】將圓
上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>
，得曲線
．
（1）求出的參數(shù)方程;
（2）以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，設
是曲線上的一個動點，求點到直線
距離的最小值．
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