Question

【題目】給定正整數，將分拆成若干個互異正整數的和，這些正整數的乘積記為.對所有不同的分法，求的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設分拆成時，達到最大值.

下面證明：具有以下4條性質.

（1）；

（2）；

（3）最多有一個，使；

（4）.

（1）若有某個，必定是.

令，則，矛盾.

（2）若有某個，使得，則令，.

由，知，矛盾.

（3）若有某個，使得，，則令，.

由

，知，矛盾.

（4）若，則由知，存在，且由前面的討論有或6.

（ⅰ）當時，將分拆成，由，知，矛盾.

（ⅱ）當時，將分拆成，由，知，矛盾.

若，將分拆成，由，知，矛盾.

綜上所述，當達到最大時，的分拆只有兩種形式：

第一種形式為；

第二種形式為.

若同時存在上述兩種類型的分拆，即，

其中，，.

我們證明必有，.

實際上，若，移項得.矛盾.

同樣可知，亦矛盾.

于是，.從而，，即.

此時，對應的值之比為.

因此，當同時存在兩種分拆時，第一種形式的分拆使達到最大.

取劃分數列，則對給定的整數，總存在確定的整數，

使得.

令，則.

解得，即.

于是，對給定的正整數，總存在確定的整數、，使得.

（1）當時，

，

這是第二種形式的分拆，其中，.

若存在第一種形式的分拆，則由上面討論，必有，，即

，這與矛盾.

于是，只存在第二種形式的分拆，此時，.

（2）當時，，這是第一種形式的分拆，其中，.此時，.

綜上所述，設，