Question

【題目】設函數（）.

（1）討論函數的極值；

（2）若函數在區間上的最小值是4，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在R上無極值；當時，的極小值為，無極大值.（2）

【解析】

（1）求得函數的導數，分類討論即可求解函數的單調區間，得到答案.

（2）由（1）知，當時，函數在上單調遞增，此時最小值不滿足題意；當時，由（1）得是函數在上的極小值點，分類討論，即可求解.

解：（1）.

當時，，在R上單調遞增；無極值

當時，，解得，

由，解得.

函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，

的極小值為，無極大值

綜上所述：當時，函數在R上無極值；

當時，的極小值為，無極大值.

（2）由（1）知，當時，函數在R上單調遞增，

∴函數在上的最小值為，即，矛盾.

當時，由（1）得是函數在R上的極小值點.

①當即時，函數在上單調遞增，

則函數的最小值為，即，符合條件.

②當即時，函數在上單調遞減，

則函數的最小值為即，矛盾.

③當即時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，

則函數的最小值為，即.

令（），則，

∴在上單調遞減，

而，∴在上沒有零點，

即當時，方程無解.

綜上，實數a的值為.