Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，，， 分別為的中點，點在線段上．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明線與面垂直，根據判定定理，需要證明線與平面內的兩條相交直線垂直，根據中點易證明,所以可以將問題轉化為證明與平面內的兩條相交直線垂直，即證明和；

（Ⅱ）根據上一問所證明的垂直關系，可以建立以為原點的空間直角坐標系，設,根據,表示點的坐標，首先求平面的法向量，以及平面的法向量，并根據建立方程，求.

試題解析：（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因為，，

所以．

由分別為的中點，得，

所以．

因為側面底面，且，

所以底面．

又因為底面，

所以．

又因為，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以

分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角坐標系，

則，

所以，，，

設，則，

所以，，

易得平面的法向量．

設平面的法向量為，

由，，得

令， 得．

因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

所以，即，

所以 ，

解得，或（舍）．

綜上所得：