Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），是的導函數.

（Ⅰ）當時，求證；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在且為.

【解析】（Ⅰ）要證明函數不等式（），注意到，因此我們可先研究函數的性質特別是單調性，這可通過導數的性質確定；

（Ⅱ）首先把不等式具體化，即不等式為，注意到特殊情形， 時，不等式為，因此的值只有為1或2，因此只要證時，不等式恒成立即可，這仍然通過導數研究函數的單調性證得結論，為了確定導數的正負的方便性，把不等式變為，因此只要研究函數的單調性，求得最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，則 ，

令，則 ，

令，得，故在時取得最小值，

在上為增函數，

，

（Ⅱ） ，

由，得對一切恒成立，

當時，可得，所以若存在，則正整數的值只能取1,2.

下面證明當時，不等式恒成立，

設 ，則 ，

由（Ⅰ） ， ，

當時， ；當時， ，

即在上是減函數，在上是增函數，

,

當時，不等式恒成立

所以的最大值是2.