Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線， ，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)若點(diǎn)是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用拋物線定義求解即可；

（2）設(shè)出的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的解析式，化簡(jiǎn)之后可得為關(guān)于的方程的兩根，然后由韋達(dá)定理表示的長(zhǎng)度，最后在中消去參數(shù)，故可以得到的取值范圍.

試題解析： (1)據(jù)題設(shè)分析知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.

(2)設(shè)，點(diǎn)，點(diǎn)，

直線的方程為，

化簡(jiǎn)，得，

又因?yàn)?/span>內(nèi)切圓的方程為．

所以圓心到直線的距離為1，即，

所以，

由題意，得，所以.

同理，有，

所以是關(guān)于的方程的兩根，

所以因?yàn)?/span>

所以.

因?yàn)?/span>，

所以.

直線的斜率，則，

所以.

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， ，

所以，所以，

所以.所以的取值范圍是.