Question

已知等比數列{a_n}滿足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=an+log2

1

an

，設S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

，變為a₁，q的方程組，解出可求得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，分組后分別利用等差數列、等比數列的求和公式可求得S_n．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
依題意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

，即

a1(2+q2)=3a1q，① a1(q+q3)=2a1q2+4，②

，
由①得q²-3q+2=0，解得q=2或q=1，
當q=1時，不合題意；當q=2時，代入②得a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）bn=an+log2

1

an

=2ⁿ+log2

1

2n

=2ⁿ-n，
∴S_n=2-1+2²-2+2³-3+…+2ⁿ-n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
=

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n2．

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式及數列求和，等差、等比數列的通項公式、求和公式是解決問題的基礎，要熟練掌握．