Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x3+x2 ．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）當x∈[m，n]（0＜m＜n）時，若f（x）的值域為[3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求實數m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＞0時，f（x）=x3+x2，

故當x＜0時，則﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，

由于f（x）是奇函數，則f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，

又f（0）=0，

故當x∈R時，

（2）解：∵當x＞0時，f（x）=x3+x2，

∴f'（x）=3x2+2x＞0，

∴f（x）在[m，n]上單調遞增，

∴ ∴ ，

∴m，n為x3﹣2x2﹣2x+1=0的兩個正實數根，

∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），

∴m，n為x2﹣3x+1=0的兩個正實數根，

又由題意可知：0＜m＜n，

∴ ，

【解析】（1）設x<0，則-x>0,代入解析式f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，根據奇函數f（-x）=-f（x），從而得到f（x）的解析式，（2）假設存在滿足條件的m，n，則m，n必為方程x3﹣2x2﹣2x+1=0的兩個正實數根，即可求出結果.
【考點精析】掌握函數的值域是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．