Question

如圖，正方形ABCD內接于橢圓＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．
 
(1)若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2.
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e²－k是定值．

Answer 1

（1）①見解析②＝1（2）見解析

(1)證明：①依題意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴＝(2，－1)，＝(－2，－4)，∴·＝0，∴AM⊥AE.
∵AE為Rt△ABE外接圓直徑，∴直線AM與△ABE的外接圓相切．
②解：由解得橢圓標準方程為＝1.
(2)證明：設正方形ABCD的邊長為2s，正方形MNPQ的邊長為2t，則A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入橢圓方程＝1，得即 
∴e²＝1－.∵k＝，∴2e²－k＝2為定值．