Question

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點A、B.
(1)若AB＝，求k的值；
(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.

Answer 1

（1）k＝±1.（2）見解析

(1)解：由題意知＝，b＝1.由a²＝b²＋c²可得c＝b＝1，a＝，
∴橢圓的方程為＋y²＝1.由得(2k²＋1)x²－kx－＝0.
Δ＝k²－4(2k²＋1)×＝16k²＋＞0恒成立，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－.
∴AB＝·|x₁－x₂|＝，化簡得23k⁴－13k²－10＝0，即(k²－1)(23k²＋10)＝0，解得k＝±1.
(2)證明：∵＝(x₁，y₁－1)，＝(x₂，y₂－1)，
∴＝x₁x₂＋(y₁－1)(y₂－1)＝(1＋k²)x₁x₂－k(x₁＋x₂)＋＝－－＋＝0.∴不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.