Question

【題目】如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫，設AB=ykm，并在公路北側建造邊長為xkm的正方形無頂中轉站CDEF（其中EF在GH上），現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°。
（1）求y關于x的函數解析式，并求出定義域；
（2）如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km，兩條道路造價為30萬元/km，問：x取何值時，該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．

在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，

由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC，…

即 （（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y2xcos60°，

所以 ．…

由AB﹣AC＜BC，得 ．又因為 ＞0，所以x＞1．

所以函數 的定義域是（1，+∞）．

（2）解：M=30（2y﹣1）+40x．

因為 ．（x＞1），所以M=30

即 M=10 ．

令t=x﹣1，則t＞0．于是M（t）=10（16t+ ），t＞0，

由基本不等式得M（t）≥10（2 ）=490，

當且僅當t= ，即x= 時取等號．

答：當x= km時，公司建中轉站圍墻和兩條道路最低總造價M為490萬元．

【解析】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函數的解析式，然后求解定義域．（2）求出M=30（2y﹣1）+40x，通過基本不等式求解表達式的最值即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．