Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M為PB中點．

（1）證明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點N，連結MN，CN，

∵四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，

∠DAB=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，

M為PB中點，

∴MN∥PA，CN∥AD，

∵MN∩CN=N，PA∩AD=A，MN，

CN平面MNC，PA，AD平面PAD，

∴平面MNC∥平面PAD，

∵CM平面MNC，∴CM∥平面PAD．

（2）解：以A為原點，AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1， ），

=（1，0，﹣ ）， =（0，﹣1，﹣ ）， =（0，1，﹣ ），

設平面AMC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=2，得 =（1，﹣1，2），

設平面BMC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c=2，得 =（1，1，2），

設二面角A﹣MC﹣B的平面角為θ，

則cosθ=﹣ =﹣ =﹣ ，

∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）取AB中點N，連結MN，CN，推導出平面MNC∥平面PAD，由此能證明CM∥平面PAD．（2）以A為原點，AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．