Question

已知函數f(x)=;
(1)求y=f(x)在點P（0,1）處的切線方程；
（2）設g(x)=f(x)+x－1僅有一個零點，求實數m的值；
（3）試探究函數f(x)是否存在單調遞減區間？若有，設其單調區間為[t,s],試求s－t的取值范圍？若沒有，請說明理由。

Answer 1

（1）∵點P在函數y=f(x)上，由f(x)=得： 故切線方程為：y=－x+1
(2)由g(x)=f(x)+x－1＝可知：定義域為，且g（0）=0,顯然x=0為y=g(x)的一個零點；
則
①當m=1時，，即函數y=g(x)在上單調遞增，g(0)=0,故僅有一個零點，滿足題意。
②當m>1時，則，列表分析：

x				0
	+	0	－	0	＋
g(x)	[	極大值		極小值 0

又∵x→－1時，g(x)→－，∴g(x)在上有一根，這與y=g(x)僅有一根矛盾，
故此種情況不符題意。
（3）假設y=f（x）存在單調區間，由f(x)=得：，
令∵，h(－1)＝m+2－m－1＝1＞0，∴h(x)=0在上一定存在兩個不同的實數根s,t,………12分
即, 的解集為（t,s）,即函數f(x)存在單調區間[t,s],則s－t=,由m≥1可得：s－t

略