Question

已知函數，，，其中且.
（I）求函數的導函數的最小值；
（II）當時，求函數的單調區間及極值；
（III）若對任意的，函數滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：（I），其中.
因為，所以，又，所以，
當且僅當時取等號，其最小值為. ……………………………4分
（II）當時，，.
………………………………………………………..6分
的變化如下表：

		0		0

所以，函數的單調增區間是，；單調減區間是.
函數在處取得極大值，在處取得極小值.
（III）由題意，.
不妨設，則由得.  ……………12分
令，則函數在單調遞增.
在恒成立.
即在恒成立.
因為，因此，只需.
解得. 
故所求實數的取值范圍為

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。