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【題目】如圖，在三棱臺中，底面是邊長為的等邊三角形，上、下底面的面積之比為，側面底面，并且.

（1）平面平面，證明：；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由題意可知，結合幾何關系可證得平面，據此可得題中的結論；

（2）以為原點建立空間直角坐標系.由題意求得平面的法向量為，平面的法向量為，據此求解平面與平面所成二面角的正弦值即可.

（1）幾何體為棱臺，

平面平面

平面，平面平面

（2），則面積之比為相似比的平方，而

過點作交于，由于側面底面為交線，底面.在中，易求得為線段的四等分點，取的中點，則有，以為原點建立空間直角坐標系.

設平面的法向量為

可得

設平面的法向量為

故平面與平面所成二面角的正弦值為.

練習冊系列答案

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