Question

【題目】已知各項均為正整數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足：Sn﹣1+kan＝tan2﹣1，n≥2，n∈N*（其中k，t為常數）．

（1）若k＝，t＝，數列{an}是等差數列，求a1的值；

（2）若數列{an}是等比數列，求證：k＜t．

Answer 1

【答案】（1）a1＝1+，（2）見解析

【解析】

（1）由k＝，t＝，可得（n≥2），設等差數列{an}的公差為d，分別令n＝2，n＝3，利用等差數列的性質即可得出．

（2）令公比為q＞0，則an+1＝anq，利用遞推關系可得1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]，易知q≠1，從而可得t＝0，從而證明．

（1）∵k＝，t＝，∴（n≥2），設等差數列{an}的公差為d，

令n＝2，則，令n＝3，則，

兩式相減可得：，∵an＞0，∴a3﹣a2＝2＝d．

由，且d＝2，化為﹣4＝0，a1＞0．

解得a1＝1+．

（2）∵Sn﹣1+kan＝tan2﹣1①，n≥2，n∈N*，所以Sn+kan+1＝﹣1②，

②-①得an+kan+1﹣kan＝﹣，∴an＝（an+1﹣an）[t（an+1+an）﹣k]，

令公比為q＞0，則an+1＝anq，∴（q﹣1）k+1＝tan（q2﹣1），

∴1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]；∵對任意n≥2，n∈N*，

1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴an不是一個常數；

∴t＝0，∴Sn﹣1+kan＝﹣1，且{an}是各項均為正整數的數列，∴k＜0，

故k＜t．