Question

【題目】啟東市政府擬在蝶湖建一個旅游觀光項目,設計方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界,沿線段AB,BC,CD,DA建一個觀景長廊,其中A,B,C,D是觀景長廊的四個出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P處和湖邊D處各建一個觀景亭,且它們關于直線AC對稱,在湖面建一條觀景橋APC.觀景亭的大小、觀景長廊、觀景橋的寬度均忽略不計，設．

（1）若觀景長廊AD＝4百米，CD=AB，求由觀景長廊所圍成的四邊形ABCD內的湖面面積；

（2）當時，求三角形區域ADC內的湖面面積的最大值；

（3）若CD=8百米且規劃建亭點P在三角形ABC區域內（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平方百米；（2）平方百米；（3）當=時，四邊形ABCP內的湖面面積取到最大值， 最大值為32平方百米.

【解析】

（1）分別在和中運用余弦定理，求出，進而可得和，根據即可得結果；（2）在中，可得，令，，在中，運用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得結果；（3）先求出，計算出，進而可得結果.

解：（1）∵四邊形ABCD內接于圓O，∴ABC+ADC=

在中，

在中，

解得，∴

∴

（平方百米）

答：四邊形ABCD內的湖面面積是平方百米.

（2）∵=60，∴在中，=112

令，， 在中，=112

∴=112

∵

∴（當且僅當x=y時，取等號）

∵

∴（平方百米）

答：三角形區域ADC內的湖面面積最大值平方百米．

（3）∵點P和點D關于直線AC對稱，

∴APC=ADC，PC=CD=8

由（1）知ABC+ADC=，∴ABC+APC=

∵ABC=，∴APC=

∵點P在區域內

∴，∴

∵在中，

在中，

∴

解得或（舍去）

∵，∴四邊形ABCP內的湖面面積有最大值，

答：當=時，四邊形ABCP內的湖面面積取到最大值，最大值為32平方百米