Question

【題目】已知圓：，點，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上的任一點，都有為一常數，試求出所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據所求直線與已知直線垂直,可設出直線方程,再根據直線與圓相切,所以有(其中表示圓心到直線的距離),可得到直線方程；（2）方法一:假設存在這樣的點,由于的位置不定,所以首先考慮特殊位置,①為圓與軸左交點；②為圓與軸右交點這兩種情況,由于對于圓上的任一點，都有為一常數,可得①②兩種情況下的相等, 可得到,然后證明在一般的下,為一常數.方法二:設出,根據對于圓上的任一點，都有為一常數,設出以及該常數,通過,代入的坐標化簡,轉化為恒成立問題求解.

（1）已知直線變形為，因為所求直線與已知直線垂直，

所以設所求直線方程為，即.

由直線與圓相切，可知，其中表示圓心到直線的距離，

則，得，故所求直線方程為.

（2）假設存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，，

當為圓與軸右交點時，

依題意，，解得（舍去），或.

下面證明：點對于圓上任一點，都有為一常數.

設，則.

，

從而為常數.

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，

設于是，由于在圓上,所以,代入得，

，

即對恒成立，

所以，解得或（舍去），

故存在點對于圓上任一點，都有為一常數.