Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）若，且是函數的一個極值，求函數的最小值；

（Ⅱ）若，求證：，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（I）由函數的解析式可得．結合，可得， 利用導函數研究函數的單調性可得在上單調遞減，在上單調遞增，函數的最小值為．

（II ）若，則，，

由在上單調遞增，分類討論：

①當在上單調遞增時，；

②當在上單調遞減時，；

③當在上先減后增時，，， ，

綜上①②③得：，．

詳解：（I），定義域為，

．

由題意知，即，解得，

所以，，

又、、（）在上單調遞增，

可知在上單調遞增，又，

所以當時，；當時，．

得在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數的最小值為．

（II ）若，得，

由在上單調遞增，可知在上的單調性有如下三種情形：

①當在上單調遞增時，

可知，即，即，解得，

，令，則，

所以單調遞增，，所以；

②當在上單調遞減時，

可知，即，即，解得，

得，所以；

[或：令，則，

所以單調遞減，，所以；]

③當在上先減后增時，得在上先負后正，

所以，，即，取對數得，

可知 ，

所以；

綜上①②③得：，．