Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為．

（）求橢圓的方程．

（）直線與橢圓交于，兩點，點是橢圓的右頂點．直線與直線分別與軸交于點，兩點，試問在軸上是否存在一個定點使得?若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）線段為直徑的圓過軸上的定點．

【解析】

試題

（Ⅰ）由題意結合橢圓所過的點和橢圓的離心率可求得，.則橢圓的方程為.

（Ⅱ）設存在定點使得.聯立直線方程與橢圓方程可得.設,結合韋達定理有直線的方程為:,則,直線的方程為:,則.由向量垂直的 充要條件有，據此求解關于n的方程可得.則存在定點使得.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知,又,即,.

解得,即.

所以.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設存在定點使得.

由得.

設,則.

因為,所以直線的方程為:,則,

直線的方程為:,則.

則有,,由得

,整理得,故.

所以存在定點使得.