Question

【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為，上焦點到直線 4x+3y+12=0的距離為3，橢圓C的離心率e=．

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)設過橢圓C的上頂點A的直線與橢圓交于點B(B不在y軸上)，垂直于的直線與交于點M，與軸交于點H，若=0，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設橢圓的焦點 ，由到直線 的距離為，得到，即，再由橢圓離心率，故， ，橢圓方程為；（Ⅱ）設直線的斜率為，則直線方程，設， ,

由，得，得到， ，分別表示出向量,，得到，再根據,得到，所以方程，聯立得到，進而求出，即直線的方程為.

試題解析：（Ⅰ）由已知橢圓方程為，

設橢圓的焦點 ，由到直線 的距離為,

得，

又橢圓的離心率，所以，

又，求得.

橢圓方程為.

（Ⅱ）設直線的斜率為，

則直線方程，設， ,

由，得，

則有， ，所以，

所以,,

由已知,

所以 ,解得,

,， ,

方程，

聯立解得，

由，解得，

所以直線的方程為.