Question

【題目】如圖，三棱柱ABC-A1B1Cl中，M，N分別為CC1，A1B1的中點．

(I)證明：直線MN／/平面CAB1；

(II)BA=BC=BB1，CA=CB1，CA⊥CB1，∠ABB1=60°，求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(銳角)的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）解析（2）

【解析】試題分析:（1）設與交于點，根據平幾知識可得四邊形是平行四邊形，即有.再根據線面平行判定定理可得直線平面.（2）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系求解

試題解析：證明：（Ⅰ）

設與交于點，連接，

因為四邊形是平行四邊形，所以是是的中點，

是的中點，所以.

又因為是的中點，所以.

所以，所以四邊形是平行四邊形，

所以.

又因為平面， 平面，

所以直線平面.

（Ⅱ）因為，所以平行四邊形是菱形，所以.

又因為，所以.

又且是的中點，所以.又因為，所以≌，

所以，故，從而兩兩垂直.

以為坐標原點， 所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標系，

設，因為， ，

所以是等邊三角形，所以， ， ， .

因為兩兩垂直，所以平面，

所以是平面的一個法向量；

設 是平面的一個法向量，則，即，令,得，所以 ，

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為