Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐標系上，設不等式組

x＞0 y≥0 y≤-2n(x-3)

（n∈N^*）表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點（橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1=2b_n+a_n，b₁=-13．求證：數列{b_n+6n+9}是等比數列，并求出數列{b_n} 的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面區域為D_n內的整點為點（3，0）與在直線x=1和x=2上，從而可得結論；
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得 b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）從而有 {b_n+6n+9}是以2為首項，公比為2的等比數列由此可數列{b_n+6n+9}的通項，進而可得數列{a_n}的通項．

解答：解：（1）根據題意，由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，
所以平面區域為D_n內的整點為點（3，0）與在直線x=1和x=2上，
∴直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2交點縱坐標分別為y₁=4n和y₂=2n…（6分）
∴D_n內在直線x=1和x=2上的整點個數分別為4n+1和2n+1，
∴a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3              …（7分）
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得 
b_n+1=2b_n+6n+3       …（8分）
∴b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）…（9分）
∵b₁+6+9=2     …（10分）
∴{b_n+6n+9}是以2為首項，公比為2的等比數列…（11分）
∴b_n+6n+9=2ⁿ                  …（12分）
∴b_n=2ⁿ-6n-9．…（13分）

點評：本題考查數列的性質和應用，考查二元一次不等式（組）與平面區域，考查學生分析解決問題的能力．