Question

（2012•茂名二模）已知函數f（x）=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin²

x

3

．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）將函數利用二倍角、輔助角公式化簡，即可確定函數f（x）的值域；
（2）由f（C）=1，可得C=

π

2

，結合b²=ac，c²=a²+b²，即可求得sinA的值．

解答：解：（1）函數f（x）=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin²

x

3

=

3

sin

2x

3

+cos

2x

3

-1=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1 …（3分）
∵x∈R，∴-1≤sin(

2x

3

+

π

6

)≤1       …（4分）
∴-3≤2sin(

2x

3

+

π

6

)-1≤1 …（5分）
∴函數f（x）的值域為[-3，1]…（6分）
（2）f（C）=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，…（7分）
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1，而C∈（0，π），∴C=

π

2

．…（8分）
在△ABC中，b²=ac，c²=a²+b²，…（9分）
∴c²=a²+ac，得(

a

c

)2+

a

c

-1=0      …（10分）
∴

a

c

=

-1± 5

2

              …（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查三角函數的定義，正確確定函數解析式是關鍵．