Question

【題目】用一個平行于底面的截面去截一個正棱錐，截面和底面間的幾何體叫正棱臺.如圖，在四棱臺中，，分別為的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若側棱所在直線與上下底面中心的連線所成的角為，求直線與平面所成的角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接交于，連接，，由已知，證得四邊形是平行四邊形，即是的中點，再由三角形的中位線定理證得，最后由線面平行的判定定理得證；

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，由已知關系分別表示的坐標，進而表示與平面的法向量，最后由空間向量求線面角的運算公式求得答案即可.

（Ⅰ）連接交于，連接，，

在正四棱臺中，，分別為的中點

所以四邊形是平行四邊形，所以是的中點.

因為是的中點，所以是的中位線.

所以，且面，

故平面.

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，

為軸，建立空間直角坐標系.不妨設，

過做于，平面

則為測棱與底面所成的角，即，

，所以，，

，，則，

設平面的法向量

則，

令，則，

設直線與平面所成的角為，

所以，

，

故直線與平面所成的角的余弦值為.