Question

【題目】已知圓，圓心為，定點， 為圓上一點，線段上一點滿足，直線上一點，滿足．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點．當且滿足時，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）分析題意可得點滿足的幾何條件，根據橢圓的定義可得軌跡，從而可求得軌跡方程；（Ⅱ）先由直線與相切得到，將直線方程與橢圓方程聯立，并結合一元二次方程根與系數的關系可得，由且，進一步得到k的范圍，最后根據三角形面積公式并結合函數的單調性求的取值范圍。

試題解析：

（Ⅰ）∵

∴為線段中點

∵

∴為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，

設橢圓的標準方程為，

則， ，

∴。

∴點的軌跡的方程為。

（Ⅱ）∵圓與直線相切，

∴，即，

由，消去.

∵直線與橢圓交于兩個不同點，

∴，

將代入上式，可得，

設， ，

則， ，

∴ ，

∴

∴，

∵，解得.滿足。

又，

設，則.

∴ ，

∴

故面積的取值范圍為。