Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，，是軸的正半軸上一點，交橢圓于，且，的內切圓半徑為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為圓上一點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設內切圓與三角形各邊的切點，再由直角三角形中，由勾股定理可得橢圓的值，再由可得的值，由，，之間的關系求出橢圓的方程；

（2）由（1）得直線的方程，由圓心到直線的距離為半徑1，求出圓的圓心坐標，可得圓的方程，設的參數坐標，可得數量積的表達式，進而求出其取值范圍．

解：（1）設的內切圓切，，于，，連接，，

因為，因為，所以四邊形為正方形，所以，

設，，由，且，有，則，，

由得，有，

故，即，，

所以橢圓的方程的標準方程：；

（2）設點，其到直線的距離為1，

有，解得或（舍），即.

故圓的方程為，

設，

由，，

所以，

有

因為

所以

故為.