Question

【題目】已知F(0,1)為平面上一點，H為直線l：y=﹣1上任意一點，過點H作直線l的垂線m，設線段FH的中垂線與直線m交于點P，記點P的軌跡為Γ.

（1）求軌跡Γ的方程；

（2）過點F作互相垂直的直線AB與CD，其中直線AB與軌跡Γ交于點AB，直線CD與軌跡Γ交于點CD，設點M，N分別是AB和CD的中點.

①問直線MN是否恒過定點，如果經過定點，求出該定點，否則說明理由；

②求△FMN的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①恒過定點，定點為(0，3)②4

【解析】

（1）設P的坐標，由題意可得|PF|=|PH|，整理可得P的軌跡方程；

（2）①由題意可得直線BA，CD的斜率都存在，設直線AB的方程與拋物線聯立求出兩根之和，進而求出AB的中點M的坐標，同理可得N的坐標，進而求出直線MN的斜率，再求直線MN的方程，可得恒過定點；

②因為直線MN恒過定點，所以得S△FMN|xM﹣xN|，由均值不等式可得△FMN的面積的最小值為4.

（1）設P的坐標(x，y)由題意可得|PF|=|PH|，

所以|y+1|，

整理可得x2=4y，

所以軌跡Γ的方程：x2=4y；

（2）由題意可得直線AB，CD的斜率均存在，設直線AB的方程：y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直線與拋物線聯立，整理可得：x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，

所以AB的中點M(2k，2k2+1)，

同理可得N(1)，

所以直線MN的斜率為，

所以直線MN的方程為：y﹣(2k2+1)=(k)(x﹣2k)，

整理可得y=(k)x+3，所以恒過定點Q(0，3).

①所以直線恒過定點(0，3)；

②從而可得S△FMN|xM﹣xN||2k|=2|k|≥4，當時取得等號.

所以△FMN的面積的最小值為4.