Question

【題目】已知函數.

（1）當時，試判斷函數的極值情況，并說明理由；

（2）若有兩個極值點，.

①求實數的取值范圍；

②證明：.注：是自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）函數無極值；（2）①；②證明見詳解

【解析】

（1）把代入函數解析式，求出函數的導函數，把導函數二次求導，求出導函數的最大值，得到導函數的最大值小于，從而可得原函數在實數集上的減函數，進而可判斷函數的極值情況.

（2）①把函數有兩個極值點轉化為其導函數有兩個零點，該函數先減后增有極小值，然后根據圖像的交點情況得到的范圍；②由是原函數的導函數的根，把代入導函數解析式，用表示，然后把的表達式中的替換，得到關于的函數式后再利用求導判斷單調性，從而得到要證的結論.

（1）當時，，

則，

令，，

當時，，

當時，，

當時，，

函數在上為增函數，在上為減函數，

，

故恒成立，所以在上為減函數，

故函數無極值.

（2）①由，

所以，

若有兩個極值點，，則，是方程的兩根，

故方程有兩個根，，

又因為顯然不是該方程的根，所以方程，有兩個根，

設，得，

若時，且，單調遞減.

若時，

當時，，單調遞減.

當時，，單調遞增，

要使方程有兩個根，需，

故且，

故實數的取值范圍為.

②證明：由，得，

故，

，

設，

則，在上單調遞減，

故，即.