Question

【題目】已知橢圓:()的離心率為，設直線過橢圓的上頂點和右頂點，坐標原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數?若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）設直線的方程為，由離心率和原點到直線的距離為，可得關于的方程組，解方程組得即可得答案；

（2）依題意可設直線的方程為，，，直線方程代入曲線方程，利用判別式大于0得的范圍，利用韋達定理可得與的關系，并假設存在點

使命題成立，利用斜率公式代入坐標進行計算，將問題轉化為恒成立問題，即可得答案.

（1）設橢圓半焦距為.根據題意得，橢圓離心率，即，

所以.①

因為直線過橢圓的上頂點和右頂點，

所以設直線的方程為，即.

又由點到直線的距離為，得.②

聯立①②解得，.所以橢圓的方程為.

（2）依題意可設直線的方程為，，.聯立得.所以，所以.

所以，，

則，.

假設存在定點()，使得直線，的斜率之積為非零常數，

所以.

要使為非零常數，當且僅當解得(負值舍去).

當時，常數為.

所以軸的正半軸上存在定點，使得直線，的斜率之積為常數.