Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，且，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直，求此時(shí)二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

（1）先證EO⊥面ABCD，進(jìn)而可得BC⊥面EOF，從而可證OF⊥BC；

（2）由（1）可得平面，得到、、兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，由條件得到，轉(zhuǎn)化為向量，從而，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，得到，，又判斷∠BFC為二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夾角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．

（1）因?yàn)?/span>，是中點(diǎn)，故，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

故平面，所以；

因?yàn)?/span>，，所以，

故平面，

所以.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則有，由（1），平面，

所以、、兩兩垂直.可如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，

所以，，

由（1）知，故與平面垂直，等價(jià)于，

故，從而，即，

直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直，即關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解.

所以，解得，此時(shí).

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>平面，所以且，

所以即二面角的平面角.

因?yàn)?/span>，，

所以，

即若直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直時(shí)，

所以二面角的余弦值為.