Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恰有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)變?yōu)?/span>恰有兩個(gè)整數(shù)解，令，通過導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式判斷出恰有兩個(gè)整數(shù)解的情況，從而得到所求范圍.

（1）由題意知：

當(dāng)時(shí)， 為上的減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，由，解得：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上所述：當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）由恰有兩個(gè)整數(shù)解可得恰有兩個(gè)整數(shù)解

設(shè)，則：

令，解得：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，，，

可得圖象如下圖所示：

根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知，若恰有兩個(gè)整數(shù)解，則需

即當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)整數(shù)解