Question

【題目】已知函數為奇函數.

（1）求的值，并求的定義域；

（2）判斷函數的單調性，不需要證明；

（3）若對于任意，是否存在實數，使得不等式恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ,定義域為,(2) 增函數,(3)

【解析】

(1)利用奇函數在定義域上恒成立,列式利用對數運算化簡求解即可.

(2)直接根據對數的化簡以及單調性判斷即可.

(3)利用(2)中的單調性與定義域, 恒成立即

恒成立.再分,兩種情況換元分析進行求解即可.

（1）∵函數為奇函數,在定義域內恒成立

即,,或（此時定義域不關于原點對稱，故舍去）,故,

,函數的定義域是

（2）由（1）知,,易得在定義域是增函數.

（3）注意到,假設存在實數,

使得不等式恒成立,

即恒成立.

由（1）（2）知：即對于任意, ,即

恒成立,

當時上式成立；

當時,令,即對任意恒成立.

參變分離有,因為,故,

又函數在時單調遞增,故

故.