Question

【題目】已知數(shù)列滿足。

（1）若成等比數(shù)列，求的值。

（2）是否存在，使數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1)或;(2) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列．

【解析】

試題(1)把表示為的式子，通過(guò)對(duì)的范圍進(jìn)行討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)成等比數(shù)列可得關(guān)于的方程，解出即可；

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則成等差數(shù)列，即，將（1）的過(guò)程代入，得到關(guān)于的方程，分情況①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí),求得進(jìn)行判斷；看是否與矛盾.此題的難點(diǎn)在與討論絕對(duì)值的幾何意義，去絕對(duì)值.

試題解析：（1）∵，∴，．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

由，，成等比數(shù)列得：

∴，解得． 3分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

∴，解得（舍去）或．

綜上可得或． 6分

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則

由，得，即．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解得，從而（），此時(shí)是一個(gè)等差數(shù)列； 9分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾；

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列． 12分