Question

【題目】已知函數

（1）求函數 的單調區間；

（2）若在 上只有一個零點，求的取值范圍；

（3）設 為函數的極小值點，證明：

Answer 1

【答案】（1）當時,單調遞減區間為，無增區間； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）利用導數求解單調區間，注意參數的討論；

（2）分離參數，結合目標函數的最值求解；

（3）利用導數求出極值點，結合目標函數單調性求解.

(1)函數定義域為R,

因為 ,

當時, 恒成立,在R上單調遞減；

當時,令得

當時， ，當時，

綜上：當時,單調遞減區間為，無增區間；

當時,增區間為 ，減區間為 ,

（2）因為在上只有一個零點,所以方程上只有一個解.

設函數則,

當時,, 當時,,

所以在上單調遞增, 在上單調遞減

故 ,又,

所以的取值范圍為.

（3）由（1）知當時，在時取得極小值,

的極小值為

設函數

當f(x)單調遞減；當f(x)單調遞增；

故即所以.