Question

【題目】設函數， （）．

（Ⅰ）若直線和函數的圖象相切，求的值；

（Ⅱ）當時，若存在正實數，使對任意，都有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設切點，求切線方程，根據直線重合求解即可；（Ⅱ）不等式等價于，即．設，研究函數的單調性，討論參數 ，分別令 即可.

試題解析：（Ⅰ）設切點的坐標為，由，得，

∴切線方程為，即．

由已知和為同一直線，所以， ，

令，則，

當時， ， 單調遞增，當時， ， 單調遞減，

∴，

當且僅當時等號成立，∴， ．

（Ⅱ）①當時，由（Ⅰ）結合函數的圖象知：

存在，使得對于任意，都有，

則不等式等價于，即．

設， ，

由，得；由，得．

若， ，∵，∴在上單調遞減，

∵，

∴對任意， ，與題設不符．

若， ， ，∴在上單調遞增，

∵，∴對任意， 符合題設，

此時取，可得對任意，都有．

②當時，由（Ⅰ）結合函數的圖象知（），

對任意都成立，

∴等價于．

設，則w，

由，得； ，得，

∴在上單調遞減，注意到，

∴對任意， ，不符合題設．

綜上所述， 的取值范圍為．

【方法點晴】本題主要考查導數的幾何意義、利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法④求得的范圍的.