Question

（2013•奉賢區一模）若對于定義在R上的函數f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）是一個“λ-伴隨函數”．有下列關于“λ-伴隨函數”的結論：
①f（x）=0是常數函數中唯一一個“λ-伴隨函數”；
②f（x）=x不是“λ-伴隨函數”；
③f（x）=x²是“λ-伴隨函數”；
④“

1

2

-伴隨函數”至少有一個零點．
其中正確結論的個數是（　　）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①、設f（x）=C則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，可判斷①；
②、假設f（x）=x是一個“λ-同伴函數”，則x+λ+λx=0，則有λ+1=λ=0，解方程可判斷②；
③、假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，則（x+λ）²+λx²=0，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷③；
④、令x=0，可得f（

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2

）=-

1

2

f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））2＜0．可得f（x）在（0，

1

2

）上必有實根，可判斷④

解答：解：①、設f（x）=C是一個“λ-同伴函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數”，故①錯誤
②、假設f（x）=x是一個“λ-同伴函數”，則x+λ+λx=0對任意實數x成立，則有λ+1=λ=0，而此式無解，所以f（x）=x不是“λ-伴隨函數”，故②正確；
③、假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數”．故③錯誤
④、令x=0，得f（

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）+

1

2

f（0）=0．所以f（

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）=-

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2

f（0）．
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實數根．
因此任意的“

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2

-同伴函數”必有根，即任意“

1

2

-同伴函數”至少有一個零點．故④正確．
故答案為：B．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數的定義，是解答本題的關鍵．