Question

（2013•奉賢區一模）等比數列{c_n}滿足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N^*，數列{a_n}滿足cn=2an
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，T_n為數列{b_n}的前n項和．求

lim

n→∞

Tn；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，結合等比數列的通項公式可求公比q及c₁，代入等比數列的通項公式可求c_n，然后由cn=2an可求a_n，
（2）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

，考慮利用裂項求和即可求解T_n，進而可求

lim

n→∞

Tn
（3）假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列，結合（2）代入可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，解不等式可求m的范圍，然后結合m∈N^*，m＞1可求

解答：解：（1）解：由題意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=c₁q+c₂q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c₁+4c₁=10
∴c₁=2（3分）
由等比數列的通項公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
∵cn=2an=2^2n-1
∴a_n=2n-1（15分）
（2）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

∴bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（6分）
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

（8分）
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

（10分）
（3）假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列，
則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，（12分）
可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
由分子為正，解得1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
由m∈N^*，m＞1，得m=2，此時n=12，
當且僅當m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數列．             （16分）
說明：只有結論，m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數列．若學生沒有說明理由，則只能得 13分

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式的應用，數列的裂項求和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用